Oggi parliamo di matematica. Siccome si tratta di roba che potrebbe uccidere un cavallo adulto, dividerò il ragionamento in quanti. Dopo diverse pillole di ragionamenti matematici, spero sarete mitridatisticamente assuefatti a sufficienza da leggere le conclusioni.
I successivi capitoletti tratteranno:
1. La distribuzione di Pareto della distribuzione dei redditi
2. Funzione di sopravvivenza e densità di probabilità della distribuzione di Pareto
3. Reddito medio e massimo livello di redistribuzione teorico
4. Percentuale di vincitori e vittime del gioco della redistribuzione
5. Intervallo di redditi e frazione del reddito lordo
6. E' vero che l'80% della popolazione ha solo il 20% delle risorse?
7. Meno matematica, più realtà!
8. Conclusioni: l'assurdità delle politiche redistributive
Avvertenze: E' matematica, può avere effetti collaterali, leggere il foglietto illustrativo, in caso di necessità consultare il medico.
1. La distribuzione di Pareto
La legge di Pareto fu scoperta dall'economista e sociologo italiano Vilfredo Pareto alla fine dell'Ottocento. Ho trovato riferimenti a questa legge sia nel libro di Maldelbrot sulle applicazioni finanziarie dei frattali, sia su Wikipedia.
Una distribuzione Paretiana dipende da due parametri: il reddito minimo Rm e il coefficiente di potenza K. La legge di Pareto asserisce che:
La percentuale di persone con reddito superiore a X, con X maggiore o uguale a Rm, è pari a (Rm/X)^K.
Questa legge è molto facile da capire. Supponiamo che Rm = 10,000€ e K = 2. In questo caso, la percentuale di persone con reddito superiore a X = 20,000€ è pari a (Rm/X)^K = (10,000/20,000)^2 = 25%. Più X aumenta, più la percentuale di persone con reddito superiore a X diminuisce. Così, mentre un quarto della popolazione guadagna più di 20,000€, con i dati precedenti, solo una persona su cento guadagna più di 100,000€. Se il coefficiente K aumenta, la probabilità scende molto più rapidamente: se K = 3, ad esempio, la probabilità di trovare persone con reddito superiore a 20,000€ non è più il 25%, ma il 12.5% (1/8). Più K è alto, più i ricchi sono pochi. Un'altra proprietà notevole della distribuzione è che, per X = Rm, la probabilità diventa 1 (cioè il 100%): ciò indica che tutti hanno un reddito superiore a Rm, che per questo si chiama reddito minimo.
Pare che questa distribuzione descriva molto bene la distribuzione dei redditi (credo anche quella dei patrimoni), ma il coefficiente K non è stabile: Pareto diceva che valeva 1.5, Mandelbrot preferiva 2, io supporrò che valga 1.5, 2, 2.5 oppure 3.
2. Distribuzioni cumulative e densità di probabilità
Chiameremo S(X) la percentuale di persone con reddito superiore a X, dati K e Rm. Quindi S(X) = (Rm/X)^K. Questa è una funzione di sopravvivenza. La cosa non ha nulla a che fare con le condizioni di vita, i redditi minimi e la povertà... "funzione di sopravvivenza" è la probabilità che una variabile aleatoria sia compresa tra un certo valore (X) e infinito. S(X) è la probabilità che il reddito sia compreso tra X e più infinito.
Una funzione di sopravvivenza è compresa tra 0 e 1, proprio perchè è una probabilità ("1" significa "100%").
Con S(X) si possono fare tanti bei giochini:
- qual è la probabilità che il reddito sia compreso tra X e infinito? S(X)
- qual è la probabilità che sia inferiore a X? 1 - S(X)
- qual è la probabilità che sia compreso tra X e Y (Y > X)? S(X) - S(Y)
Supponiamo ora che Y sia poco superiore a X, e che la differenza tra Y e X sia d. La probabilità che il reddito sia compreso tra X e X+d è S(X) - S(X+d). Con uno sviluppo al prim'ordine di Taylor, si ottiene che tale probabilità è pari a f(X)d, dove f(X) è la derivata di S(X). f(X) è la funzione di densità di probabilità del reddito. E' facile ottenere che f(X) = K·Rm^K / X^(K+1).
La f(x) consente di trasformare molti problemi di probabilità in integrali definiti, ed è molto comoda.
3. Reddito medio
Avendo la densità di probabilità della distribuzione del reddito, possiamo calcolare il reddito medio della società, che chiameremo AI. La media di una distribuzione è infatti l'integrale, definito su tutto il dominio della variabile, di x·f(x). Chiameremo int(f,a,b) l'integrale definito tra a e b della funzione f(·). Nel nostro caso, il dominio è l'intervallo compreso tra Rm e infinito (inf).
AI = int(x·f(x), Rm, inf) = int(K·Rm^K/x^(k+1)·x, Rm, inf) = K·Rm/(K-1)
Per K>1 (come nel nostro caso), il reddito medio è sicuramente positivo.
Otteniamo la prima tabellina:
K AI/Rm
1.5 3
2 2
2.5 1.67
3 1.5
Questa tabellina afferma che, se K = 2, il rapporto tra reddito medio e reddito minimo è pari a 2. In poche parole, per K = 2, la redistribuzione al massimo può raddoppiare il reddito della frazione più povera della società. Una tale redistribuzione totale (in cui il reddito complessivo viene diviso in parti uguali tra tutti gli abitanti) avvantaggerebbe alcuni (quelli che guadagnano meno di AI) a danno di altri (che guadagnano di più).
4. Vincitori e vinti
Si potrebbe pensare che i ricchi da spennare rappresentino una percentuale piccolissima della popolazione totale. Con questo non voglio giustificare quella particolare forma di autoritarismo che si chiama democrazia, ma è indubbio che, se la redistribuzione gravasse solo sui Bill Gates, molti non troverebbero nulla da ridire.
Ma qual è la probabilità di guadnare meno di AI (cioè Rm·K/(K-1))? E' pari a 1-F(AI)! Questa è la percentuale di vincitori del processo redistributivo. Chiameremo W la percentuale di vincitori e L la percentuale di perdenti (che sono F(AI) = 1/AI^K).
K W F
1.5 81 19
2 75 25
2.5 72 28
3 70 30
Vediamo che la percentuale di vittime del processo è in realtà paragonabile alla percentuale di votanti del maggior partito italiano (FI o Ulivo che sia). Altro che piccola minoranza.
Ma qual è il reddito del più povero delle vittime? 3, 2, 1.67 o 1.5 volte il reddito del più povero (l'abbiamo calcolato prima!). Per Rm = 10,000, significa che chiunque guadagni 30,000, 20,000, 17,000 o 15,000 euro è una potenziale vittima sacrificale sull'altare dell'egalitarismo.
Aumentare di qualche punto percentuale le aliquote di chi guadanga più di 70,000€ avrà un effetto tracurabile sulle casse dello stato, anche in questa situazione assolutamente statica.
5. Intervallo di redditi e frazione del reddito lordo
Vogliamo ora chiederci, dato un certo livello di reddito Rf > Rm, qual è la percentuale della ricchezza totale (AI!) posseduta da chi guadagna un reddito compreso tra Rm a Rf.
La ricchezza posseduta da chi guadagna tra Rm e Rf è: int(f(x),Rm,Rf) = f·AI. f è la frazione di reddito appartenente alle persone nell'intervallo in questione.
Otteniamo l'equazione: Rf/Rm = 1/(1-f)^(1/(K-1)).
Questo significa che, dati f e K, è possibile calcolare il rapporto tra il reddito Rf e Rm. Si ottiene una tabellina che, se non ho commesso errori, è:
f 0.1 0.2 0.5 0.8 0.9
K
1.5 1.23 1.56 4 25 100
2 1.11 1.25 2 5 10
2.5 1.07 1.16 1.59 2.92 4.64
3 1.05 1.12 1.41 2.24 3.16
Questa tabellina è un po' complicata da leggere. Definiamo U(K,f) il numeretto che compare alla colonna f e alla riga K. Comunque il significato è semplice. Posto Rm = 10,000€ e K = 2 (seconda riga), si ha che il 10% della ricchezza è posseduta da chi ha reddito compreso tra 10,000€ e 2·10,000€ (U(2,0.1) = 2). Il 20% è posseduto da chi ha tra 10,000€ e 12,500€. Il 90% della ricchezza è posseduto da chi ha reddito compreso tra 10,000€ e 100,000€. I rimanenti (pochi) centomigliaiari hanno solo il 10% della ricchezza totale.
6. E' vero che l'80% della popolazione ha solo il 20% delle risorse?
U(2, 0.2) vale 1.25. Questo significa che chi guadagna tra Rm e 1.25·Rm ha il 20% delle risorse, se K = 2. Ma la probabilità che qualcuno guadagni più di 12,500€ è una frazione pari a F(12,500) della popolazione.
U(K,f)·Rm è il reddito massimo di coloro che hanno una frazione f della ricchezza totale, dato K. F(U(K,f)·Rm) è la percentuale di persone con redditi superiori a U(K,f)·Rm... che è pari a 1/U(K,f)^K, in base all'espressione di F(X).
Posto f=0.2 (cioè, siamo interessati a calcolare il numero dei "ricchi" necessario ad avere il 80% della ricchezza), si ha che la percentuale di ricconi W è:
K W
1.5 0.51
2 0.64
2.5 0.69
3 0.71
Ops... anche per K = 1.5, un caso improbabile di "iniqua" distribuzione dei redditi... è il 51% della popolazione a detenere l'80% della ricchezza... altro che il 20% tanto caro ai terzomondisti, anche quelli che scrivono su Wikipedia...
7. Meno matematica, più realtà
Vabbè, le distribuzioni sono finzioni matematiche, i coefficienti sono variabili nel tempo, gli aggregati non agiscono causalmente su altri aggregati. Il problema con i precedenti calcoli non è che K vale 1.8 o 2.7; il problema è economico: è assurdo pensare che il reddito complessivo sia indipendente dal livello dei redditi. In realtà, la prima cosa che farei io in un mondo di egalitarismo estremo come quello sopra descritto è smettere di lavorare e dedicare il 100% del mio tempo allo studio dell'opera omnia di Pufendorf (?). Se tutti facessero così, la torta passarebbe da K·Rm/(K-1) a 0. Più realisticamente, la burocrazia sarebbe ricchissima, le lobby pure, il mercato nero si espanderebbe a dismisura.
Il problema è più serio se si considera che, senza un mercato del lavoro, non sarebbe possibile allocare la forza-lavoro tra la i vari stadi di produzione. Anche se la gente volesse lavorare, non saprebbe dove. Come distinguere un lavoro che vale 10·Rm da uno che vale Rm/10?
Come faceva notare l'anno scorso Phastidio, in un commento di qualche mese fa, c'è un altro problema: se buttiamo via le differenze di reddito (o semplicemente le riduciamo), chi produce oggi x non ha motivo di impegnarsi a produrre 2·x il prossimo anno... perchè dovrebbe studiare, imparare un mestiere, accumulare esperienza, risparmiare e investire oculatamente? L'egalitarismo è la ricetta giusta per l'immobilismo sociale.
8. Conclusioni: l'assurdità delle politiche redistributive
Il problema non è solo che le politiche distributive generano corruzione, sono aggressive, distruggono ricchezza, danno potere arbitrario agli sgherri dello stato, eccetera...
Il problema è che queste politiche sono poco efficaci, perchè i ricchi sono troppo pochi.
Alla fine, le politiche redistributive sono le politiche di una parte del ceto medio contro un'altra parte del ceto medio, che si appropria del potere statale per vivere a spese di persone che guadagnano pochi euro di più. In genere, poi, questi soldi vanno ad arricchire Alitalia, Fiat, sindacati, medie aziende agricole... e il motivo è ovvio.
Il potere politico serve per vivere a spese degli altri. Solo una piccola percentuale delle persone possono farlo. La maggioranza delle persone deve semplicemente farsi derubare. Certo, schiavizzarli è inutilmente inefficiente, richiede violenza, e non piace a nessuno. Serve qualcosa di meglio: un'ideologia! Serve il socialismo, la democrazia, la giustizia sociale! Che idea geniale!
E il trucco di far credere ai cittadini che sono loro a governare sè stessi, tra tutte le stupidaggini che hanno inventato gli agiografi di corte, è veramente il più geniale... non posso che provare ammirazione per una tale impressionante costruzione intellettuale.